HOOK · 시작 질문
왜 지수 가 필요한가?
From repetition to compression — 같은 수의 반복을 더 짧게 쓰는 마법.
A LITTLE PUZZLE
2 를 1000번 곱한 수를 어떻게 표현할까요?
✗ 길게 쓰기
$2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2$
(1000개)
VS
✓ 지수로 쓰기
$2^{1000}$
(단 한 줄)
지수 표기법 의 위력입니다. 그런데 이 표기법의 진짜 가치는 단순한 간결함이 아닙니다. 지수가 붙은 식들끼리 계산할 때 새로운 규칙들이 발견된다 는 점, 그것이 지수의 핵심입니다. $2^{10} \times 2^{20}$은 일일이 곱하지 않아도 답이 보입니다. $2^{30}$. 왜 그럴까요?
이 차시에서 우리는 거듭제곱끼리의 곱·나눗셈·거듭제곱이 어떤 패턴 을 따르는지 발견하고, 이를 네 가지 법칙 으로 정리합니다. 각 법칙은 단순히 외우는 공식이 아니라, 거듭제곱의 정의로부터 자연스럽게 따라 나오는 진리 입니다.
CORE CONCEPT · 네 가지 법칙
지수법칙 4가지
Each law arises naturally from the definition $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n}$.
01
LAW Ⅰ · 곱셈
같은 밑끼리 곱하면 — 지수는 더한다
WHY · 증명
$a^m$은 $a$를 $m$번 곱한 것이고, $a^n$은 $a$를 $n$번 곱한 것이다.
$a^m \times a^n = \underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_{m\text{개}} \times \underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_{n\text{개}}$
$= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{(m+n)\text{개}} = a^{m+n}$ ✓
곱하는 횟수의 총합 = $m+n$이므로 자연스럽게 지수가 더해진다.
$a^3 \times a^4 = a^{\mathbf{7}}$
$x^5 \times x = x^{\mathbf{6}}$
$2^3 \times 2^2 = 2^{\mathbf{5}} = 32$
02
LAW Ⅱ · 거듭제곱
거듭제곱의 거듭제곱 — 지수는 곱한다
WHY · 증명
$(a^m)^n$은 $a^m$을 $n$번 곱한 것이다.
$(a^m)^n = \underbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_{n\text{개}}$
법칙 Ⅰ을 적용하면 지수가 모두 더해지므로,
$= a^{\underbrace{m+m+\cdots+m}_{n\text{개}}} = a^{mn}$ ✓
$m$을 $n$번 더하는 것 = $mn$이므로 지수는 곱이 된다.
$(a^2)^3 = a^{\mathbf{6}}$
$(x^4)^5 = x^{\mathbf{20}}$
$(2^3)^2 = 2^{\mathbf{6}} = 64$
03
LAW Ⅲ · 나눗셈
같은 밑끼리 나누면 — 세 가지 경우
WHY · 증명 ($m > n$인 경우)
$a^m \div a^n = \dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \times \cdots \times a}^{m\text{개}}}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{개}}}$
분자와 분모에서 $a$를 $n$개씩 약분하면 분자에 $(m-n)$개의 $a$가 남는다.
$= \underbrace{a \times \cdots \times a}_{(m-n)\text{개}} = a^{m-n}$ ✓
CASE A · $m > n$
$a^{m-n}$
$a^5 \div a^2 = a^3$
CASE B · $m = n$
$1$
$a^4 \div a^4 = 1$
CASE C · $m < n$
$\dfrac{1}{a^{n-m}}$
$a^2 \div a^5 = \dfrac{1}{a^3}$
04
LAW Ⅳ · 분배
곱과 몫의 거듭제곱 — 분배된다
WHY · 증명
$(ab)^n = \underbrace{(ab)(ab) \cdots (ab)}_{n\text{개}}$
곱셈의 교환·결합법칙으로 $a$끼리, $b$끼리 모은다.
$= \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{개}} \times \underbrace{b \times \cdots \times b}_{n\text{개}} = a^n b^n$ ✓
지수가 괄호 안의 각 인수에 분배된다.
$(ab)^3 = \mathbf{a^3 b^3}$
$(2x)^4 = \mathbf{16x^4}$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^3 = \mathbf{\dfrac{x^3}{y^3}}$
$(-2a^3)^2 = \mathbf{4a^6}$
QUICK CHECK · 빠른 확인
바로 확인 하기
5 quick warm-ups — click each card to reveal the answer.
QC-01 · 법칙 Ⅰ
$a^4 \times a^6 = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$a^{4+6} = \mathbf{a^{10}}$ — 같은 밑의 곱은 지수의 합.
QC-02 · 법칙 Ⅱ
$(x^3)^4 = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$x^{3 \times 4} = \mathbf{x^{12}}$ — 거듭제곱의 거듭제곱은 지수의 곱.
QC-03 · 법칙 Ⅲ ($m=n$)
$a^8 \div a^8 = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
분자와 분모가 같으므로 $\mathbf{1}$.
QC-04 · 법칙 Ⅲ ($m
$a^3 \div a^7 = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$m < n$이므로 $\mathbf{\dfrac{1}{a^{7-3}} = \dfrac{1}{a^4}}$.
QC-05 · 법칙 Ⅳ
$(2a^2)^3 = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$2^3 \times (a^2)^3 = \mathbf{8a^6}$ — 지수가 각 인수에 분배.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples that combine multiple laws.
EXAMPLE 01
두 가지 법칙의 결합 · 곱과 거듭제곱
다음 식을 간단히 하시오: $\quad x^3 \times (x^2)^4$
1
먼저 거듭제곱 부분을 정리한다. 법칙 Ⅱ 로 $(x^2)^4 = x^{2 \times 4} = x^8$.
2
이제 식은 $x^3 \times x^8$. 법칙 Ⅰ 로 지수를 더한다: $x^{3+8} = x^{11}$.
▶ 답: $x^{11}$
EXAMPLE 02
곱의 거듭제곱과 나눗셈
다음 식을 간단히 하시오: $\quad (3a^2 b^3)^2 \div a^4$
1
법칙 Ⅳ 로 괄호를 푼다: $(3a^2 b^3)^2 = 3^2 \times (a^2)^2 \times (b^3)^2 = 9 \times a^4 \times b^6 = 9a^4 b^6$.
2
이제 $9a^4 b^6 \div a^4$를 계산. 법칙 Ⅲ ($m=n$)으로 $a^4 \div a^4 = 1$.
3
$b$는 그대로 남으므로 결과는 $9b^6$.
▶ 답: $9b^6$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty. Type your answer in the format $a^n$ (e.g., a^5) or as instructed.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$a^5 \times a^7$을 간단히 하시오. (답 형식: a^지수 )
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅰ: $a^5 \times a^7 = a^{5+7} = \mathbf{a^{12}}$.
$(b^3)^6$을 간단히 하시오. (답 형식: b^지수 )
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅱ: $(b^3)^6 = b^{3 \times 6} = \mathbf{b^{18}}$.
$x^9 \div x^4$를 간단히 하시오. (답 형식: x^지수 )
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅲ ($m > n$): $x^9 \div x^4 = x^{9-4} = \mathbf{x^5}$.
$(2x^3)^4$를 간단히 하시오. (계수와 문자, 답 그대로 입력: 예 16x^12 )
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅳ: $(2x^3)^4 = 2^4 \times (x^3)^4 = 16 \times x^{12} = \mathbf{16x^{12}}$.
P-05
★★ 응용 · Ⅲ ($m
$a^3 \div a^8$을 간단히 하시오. (답 형식: 1/a^지수 )
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅲ ($m < n$): $a^3 \div a^8 = \dfrac{1}{a^{8-3}} = \mathbf{\dfrac{1}{a^5}}$.
$\left(\dfrac{y^4}{x^2}\right)^3$을 간단히 하시오. (답 형식: y^a/x^b )
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅳ: $\left(\dfrac{y^4}{x^2}\right)^3 = \dfrac{(y^4)^3}{(x^2)^3} = \mathbf{\dfrac{y^{12}}{x^6}}$.
$(a^2)^3 \times a^4 \div a^5$를 간단히 하시오. (답 형식: a^지수 )
확인 풀이
SOLUTION
1단계 (법칙 Ⅱ): $(a^2)^3 = a^6$.
2단계 (법칙 Ⅰ): $a^6 \times a^4 = a^{10}$.
3단계 (법칙 Ⅲ): $a^{10} \div a^5 = \mathbf{a^5}$.
$a^x \times a^5 = a^{12}$일 때, 자연수 $x$의 값을 구하시오. (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
법칙 Ⅰ: $a^x \times a^5 = a^{x+5}$.
$a^{x+5} = a^{12}$이므로 지수끼리 비교: $x + 5 = 12$.
따라서 $x = \mathbf{7}$.
LESSON 1.1 · WRAP-UP
한 줄로 정리 하면
거듭제곱의 정의 $a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n}$로부터 네 가지 지수법칙 이 자연스럽게 따라 나옵니다. 외우는 것이 아니라 "개수를 센다" 는 원리를 이해하는 것이 핵심입니다.
LAW Ⅰ · 곱셈
$a^m \times a^n = a^{m+n}$
지수의 합
LAW Ⅱ · 거듭제곱
$(a^m)^n = a^{mn}$
지수의 곱
LAW Ⅲ · 나눗셈
$a^m \div a^n$
3가지 경우 분기
LAW Ⅳ · 분배
$(ab)^n = a^n b^n$
각 인수에 분배
LESSON 1.1 · 지수법칙
← Ⅱ-1 입구
1.2 단항식의 곱셈 →
중학교 수학 2 · Ⅱ-1. 지수법칙과 단항식의 계산 · 1.1 지수법칙 · 2022 개정 교육과정